4.7 شناسایی (ساختن) یک مدل ریاضی

ما یادآوری می کنیم که یک مدل ریاضی مجموعه ای از روابط بین متغیرهای فیزیکی سیستم مورد تجزیه و تحلیل را نشان می دهد، که به صورت معادلات جبری، معادلات دیفرانسیل یا معادلات / سیستم معادلات مشتقات جزئی بیان می شود.

ایجاد مدل ریاضی سیستم به عنوان شناسایی سیستم شناخته می شود. شناسایی ممکن است محقق شود:

• از نظر تئوری.
• به صورت تجربی
• به صورت ترکیبی، از لحاظ نظری و تجربی.

شناسایی نظری به عنوان یک نقطه شروع این است که قوانین فیزیکی (شناخته شده پیشینی) ویژگی سیستم تجزیه و تحلیل شده، و همچنین مجموعه ای از فرضیه های ساده (مانند خطی بودن برخی پدیده ها) در دسترس است.

در میان قوانین فیزیکی که عمدتا در هیدرولوژی و مدیریت آب استفاده می شود، ما در اینجا یادآوری می کنیم:

• معادله تداوم، اعمال شده در یک رژیم ثابت یا ناپایدار، به آبهای سطحی یا زیرزمینی، در مشکلات منابع آب یا مدیریت آب.
• تعادل انرژی، که در آن تابش خورشید، تابش لازم برای تبخیر و همچنین تغییرات انرژی از جرم در نظر گرفته شده دخالت می کند.
• تعادل گرما (از خاک، هوا یا آب).

به عنوان یک نتیجه از تجزیه و تحلیل نظری، یک سیستم معادلات دیفرانسیل معتبر برای کل دامنه مورد مطالعه در مورد پارامترهای جهانی بدست می آید، به ترتیب یک سیستم معادلات با مشتقات جزئی که مشخصه هر عنصر بی نهایت کوچک (یا عنصر گسسته) ) در مورد سیستم های دارای پارامترهای توزیع شده.

مدلسازی نظری هنگامی مورد استفاده قرار می گیرد که فرد قوانینی را که پویایی سیستم را مشخص می کند به خوبی بشناسد. این نوع مدل سازی در مرحله طراحی سیستم نیز اعمال می شود (که هنوز وجود ندارد، اما معادلاتی که پویایی آن را توصیف می کنند شناخته شده اند). این مورد در مورد بسیاری از سیستم های مدیریت آب است که خصوصیات آنها (توان نصب شده، ظرفیت دریاچه های ذخیره سازی، تخلیه هایی که می توانند تحویل داده شوند و غیره) در حین مدل سازی تعیین می شوند.

در بعضی موارد، رویکردهای نظری منجر به مدلهایی با پیچیدگی زیاد می شود که حل آنها دشوار است. به طور کلی، برای استفاده از مدل های نظری باید آنها را ساده کرد و به موارد زیر متوسل شد:

• خطی سازی معادلات غیر خطی با مشتقات جزئی.
• تقریب از طریق معادلات دیفرانسیل معمولی معادلات با مشتقات جزئی.
• کاهش ترتیب معادلات دیفرانسیل معمولی.

بدست آوردن راه حل مدلهای نظری در بسیاری از موارد امکان پذیر نیست و برای حل این مسئله به حل عددی متوسل می شوید. برای همان مدل نظری ممکن است از مدلهای عددی مختلفی استفاده شود: تفاوتهای محدود، عناصر محدود، عناصر مرزی و غیره. به روشی مشابه، برای ادغام معادله مشتقات دیفرانسیل / جزئی می توان از یک روش صریح (که ناشناخته - معمولاً استفاده می کند) استفاده کرد. خروجی سیستم، فقط در تابع متغیر حالت ها در ابتدای هر مرحله از محاسبه تعیین می شود) یا یک روش ضمنی (که برای آن خروجی در تابع حالت های اولیه و نهایی ارزیابی می شود، که به فرایند تکراری در فریم نیاز دارد از هر مرحله)

تضعیف موج سیل در یک مخزن، ادغام معادلات سنت ونانت یا ادغام معادلات حرکت آب زیرزمینی در حالت ناپایدار ممکن است به عنوان مثال آورده شود. یک مدل عددی صریح برای اطمینان از دقت به یک مرحله محاسبات بسیار کوچک احتیاج دارد، اما حل ریاضی معادلات بدست آمده امری عادی است. برعکس، در مورد یک مدل عددی ضمنی، تعداد مراحل محاسبه به وضوح پایین تر است، زیرا مرحله محاسبه بیشتر از حالت اول است. هنوز هم، تلاش برای محاسبه به دلیل مشکلات حل عددی مهم است: حل تکراری، حل برخی از سیستم های معادلات و غیره

برای بررسی کفایت مدلها و همچنین ارزیابی برخی از پارامترهای آنها، نمی توان مدلهای نظری را بدون مشارکت آزمایشها و اندازه گیری های insitu توسعه داد.

شناسایی تجربی سیستم ها به منظور ایجاد مدل ریاضی بر اساس مقادیر ورودی و خروجی حاصل از اندازه گیری ها است. به طور کلی، این مدل های جعبه سیاه است. مدلهای آزمایشی به عنوان هدف برای ایجاد قوانین فیزیکی مشخص کننده پدیده یا فرایند تجزیه و تحلیل نیستند، بلکه فقط یافتن پیوندی بین داده های ورودی و خروجی هستند. مدل های هیدرولوژیکی مسیریابی امواج سیل، مدل نفوذ هورتون، مدل هیدروگراف واحد، مدل تبخیر و تعرق تورنتوائیت و غیره، ممکن است به عنوان مثال آورده شود.

در همه این موارد، فرد متغیرهای حالت سیستم را اندازه گیری نمی کند، یا این امکان پذیر نیست. در نتیجه، این مدل ساختار داخلی سیستم را توصیف نمی کند. پارامترهای این مدل ها با بهینه سازی ارزیابی می شوند، روش حداقل مربعات بیشترین استفاده را دارد.

شناسایی مشترک (مختلط) یک راه میانه است، تلاش برای جلوگیری از مشکلاتی که مدل سازی نظری و همچنین تجربی باید با آنها روبرو شود. در عمل به طور کلی شروع می شود 

از دانش پیشینی مربوط به سیستم تجزیه و تحلیل شده، که انتخاب ساختار مدل (شناسایی نظری) را آسان می کند، اما برای این منظور مقادیر پارامترها باید به صورت تجربی تعیین شود.

مدل های مبتنی بر فیزیک و همچنین مدل های مفهومی از این دسته هستند. در مورد مدلهای مبتنی بر فیزیک، اندازه گیری متغیرهای حالت ممکن است و پیوند بین ورودی و خروجی براساس قوانین فیزیکی شناخته شده است.

مدلهای مفهومی بیانگر تعمیم مدلهای ابتدایی-ورودی-خروجی است. این سیستم به زیر سیستم تجزیه می شود، از بین آنها حداقل برخی حالتهایی دارند که ممکن است از طریق متغیرهای حالت مشخص شوند. سیستم های فرعی سیستم های مدل شده را نشان می دهند، یا به عنوان مدل های ورودی-خروجی، یا به عنوان مدل های ابتدایی حالت های ورودی-خروجی یا مدل های مبتنی بر فیزیک. بین سیستمهای فرعی پیوندهایی وجود دارد که ساختار سیستم و قوانین تکامل آن را تعریف می کند.

پس از شرح مدل، اعتبارسنجی آن لازم است. برای این، پاسخ سیستم برای موارد ساده، بیشتر وقتی که یک راه حل تحلیلی وجود دارد، دریافت می شود. اگر نتایج بدست آمده از طریق مدل سازی به نتایج واقعی نزدیک باشد، ممکن است مدل معتبر باشد. در یک مورد مخالف، بررسی مجدد فرضیه پذیرفته شده در شرح مدل لازم است.

همانطور که نشان داده شده است، دانش نظری جزئی از سیستم به فرد اجازه می دهد تا نوع مدل را برای توصیف آن انتخاب کند. پس از شناسایی و اعتبارسنجی مدل، کالیبراسیون (ارزیابی مقادیر عددی) پارامترها در مرحله بعدی قرار می گیرد.

شناسایی پارامترها به اطلاعاتی در مورد سیستم نیاز دارد که معمولاً بر اساس اندازه گیری هایی که در گذشته انجام شده یا به ندرت توسط آزمایش انجام شده است. در هیدرولوژی فرد به طور کلی با اولین مورد مواجه می شود، هنگامی که از طریق شبکه هواشناسی یا شبکه هیدرولوژیکی، دما، سطح آب، سرعت و غیره اندازه گیری می شود. برنامه نویسی آزمایش ها به ویژه در هیدروژئولوژی (به عنوان مثال ارزیابی هدایت هیدرولیکی، قابلیت انتقال یا نشت با استفاده از آزمون های پمپاژ) امکان پذیر است.

برآورد پارامترها کالیبراسیون یا شناسایی نامیده می شود. هنگام استفاده از مدل برای شبیه سازی های مختلف، نباید فراموش کرد که پارامترهای مدل دارای اعتبار محدود، مشخص کردن زمینه مقادیر ثبت شده هستند. این فرض که مدل خارج از حوزه اندازه گیری ها رفتاری خطی نشان دهد، به طور کلی نادرست است، گرچه به طور مکرر مورد استفاده قرار می گیرد. حتی می توان رفتار سیستم را تغییر داد. بیایید به عنوان مثال مورد یک کار آب زیرزمینی را بررسی کنیم. پس از شناسایی پارامترها، ممکن است از این مدل برای شبیه سازی پیامدهای تخلیه های مختلف انتزاعی برای مکان های مختلف چاه استفاده شود. اگر تخلیه بسیار مهم باشد، ممکن است اکنون یک رودخانه در منطقه آبخوان را تأمین کند، اگرچه در وضعیت اولیه، مبادله تخلیه می تواند از سفره آب به رودخانه باشد.

به روشی مشابه، در مورد یک منطقه آبیاری، تلفات زیادی از سیستم آبیاری، همه چیز تکامل می یابد. این اثر افزایش سطح فراته و ظهور مناطق تخلیه جدید است (فرورفتگی های طبیعی، حتی در یک مسیر آبی که بستر رودخانه آن بالای یک بسته آرگیل دیده می شود و در شرایط اولیه به لحاظ هیدرولیکی مربوط به سفره آب نیست).

پس از تعریف ساختار مدل و کالیبراسیون پارامترها، اعتبار پارامترها دنبال می شود. معمولاً از تعداد موارد ثبت شده، برخی از داده ها برای کالیبراسیون و بقیه برای اعتبارسنجی استفاده می شود.

به عنوان مثال، برای پیش بینی امواج سیل، با پارامترهای کالیبره شده سعی در تولید مثل سایر سیل های ثبت شده در گذشته است. اگر انحراف بین تخلیه های مدل شده و موارد ثبت شده قابل قبول باشد، ممکن است از این مدل برای شبیه سازی های آینده استفاده شود.

اگر رفتار مدل راضی کننده نباشد، از سرگیری کل چرخه مدل سازی ریاضی ممکن است لازم باشد. این عملیات معمولاً در جهت مخالف فرایند مدل سازی انجام می شود، مشکوک به خطاها در: مقادیر پارامترها، کد رایانه، مدل عددی، مدل ریاضی، محدودیت های مدل، قوانین فیزیکی در نظر گرفته شده، متغیرهای انتخاب شده برای خصوصیات سیستم یا حتی در داده های اساسی که ممکن است تحت تأثیر خطاها قرار بگیرند.

سرانجام، آخرین احتمال ممکن است تحول در زمان پارامترهای سیستم باشد. به عنوان مثال، جنگل زدایی حوضه آبریز منجر به اصلاح خصوصیات رواناب می شود.

بسته به تکامل سیستم، شناسایی پارامترها به شرح زیر است:

• ثابت است، وقتی ساختار سیستم از نظر زمانی متفاوت نیست. بنابراین پارامترهای مدل ثابت هستند و هدف شناسایی برآورد دقیقترین پارامترها است.
• سازگار، هنگامی که ساختار سیستم و در نتیجه پارامترهای آن نیز از نظر زمانی متفاوت باشند. هدف شناسایی برآورد تکامل پارامترها است.

بسته به تاخیر بین اندازه گیری های میدان و استفاده از اطلاعات برای کالیبراسیون، شناسایی است:

• در زمان متفاوت (خارج از خط).
• در زمان واقعی (روی خط).

مورد اول اغلب در عمل برآورده می شود. معمولاً داده های اندازه گیری شده در پایگاه های اطلاعاتی ذخیره می شوند، از جایی که در صورت لزوم استفاده می شوند.

کاملاً اخیراً، شناسایی در زمان واقعی شروع به استفاده کرده است. تجزیه و تحلیل داده ها و شناسایی پارامترها به موازات تکامل روند فیزیکی صورت می گیرد، بنابراین نتایج به دست آمده برای تنظیم فرآیند بلافاصله قابل دسترسی می شوند. پردازش زمان واقعی در صورت شناسایی تطبیقی ​​و به دنبال آن مدیریت از همان نوع سیستم استفاده می شود.

تولید سیلاب، مسیریابی آنها در امتداد شبکه رودخانه ها و میرایی در مخازن ممکن است به عنوان نمونه ای از پردازش زمان واقعی ارائه شود.

به طور خلاصه آنچه قبلا نشان داده شد، مراحل اصلی در شناسایی مدل سیستم به شرح زیر است:

• جمع آوری تمام داده های موجود ؛
• تفسیر اطلاعات موجود در پایگاه داده، درک ساختار سیستم و برنامه ریزی آن.
• شناسایی مدل، یا فرمول بندی مدل ریاضی، متشکل از تعریف قوانینی است که بر روند یا پدیده تحلیل شده حاکم هستند. مدل انتخاب شده ممکن است: ثابت - پویا، گسسته - مداوم در زمان، قطعی - تصادفی، با پارامترهای توزیع شده - توزیع شده، خطی - غیر خطی و غیره باشد. در نتیجه این مرحله یک مدل M (q) بدست می آید، جایی که q بردار پارامترهای ناشناخته است.
• انتخاب مدل عددی که باید در شرایط همگرایی سریع و پایداری عددی به حل مسئله تجزیه و تحلیل منجر شود. به عنوان مثال، برای حل یک معادله با مشتقات جزئی می توان از روش تفاوت های محدود یا از روش عنصر محدود استفاده کرد، طرح حل ممکن است از نوع صریح یا ضمنی و غیره باشد.
• تست و اعتبارسنجی مدل ریاضی ؛
• در صورت امکان، برنامه نویسی insitu را آزمایش می کند.
• کالیبراسیون پارامترها، به حداقل رساندن تفاوت بین خروجی سیستم و مدل (حالت ها). شناسایی ممکن است محقق شود: الف) استفاده از مدل های بهینه سازی، که به شما امکان می دهد پارامترها را در مدت زمان کوتاهی پیدا کنید. ب) با استفاده از آزمون و خطا، اصلاح پارامترها تا زمانی که شخص توافق خوبی بین مدل و خروجی سیستم به دست آورد (حالت ها). اگرچه جستجوی آزمایش و خطا از نظر ریاضی ابتدایی به نظر می رسد، اما هنوز هم توسط بسیاری از متخصصان ترجیح داده می شود، زیرا فرایند شناسایی کنترل می شود و مقادیر حاصل به معنای فیزیکی پارامترها احترام می گذارند.
• اعتبار سنجی پارامترها.
• استفاده از مدل یا برای پیش بینی پیامدهای سناریوهای مختلف (ساختار، متغیرهای تصمیم گیری، مقادیر ورودی) در مورد تکامل آینده سیستم، یا برای افزایش کارایی سیستم.

مدیر سایت: بهزاد سرهادی

شماره تلفن: 09190622992

شناسه تلگرام مدیر سایت: SubBasin@

نشانی ایمیل: behzadsarhadi@gmail.com

(سوالات تخصصی را در گروه تلگرام ارسال کنید)

_______________________________________________________

×

 براي پيوستن به بزرگترين گروه تلگرام علوم و مهندسي آب با امکان تبادل نظر بين اعضاء کليک کنيد

کتاب کاربرد مدل QUAL2KW

کتاب کاربرد GIS در منابع آب

کتاب محاسبه سيل طرح